ΑΠΟ ΤΑ ΛΙΓΑ ΣΤΑ ΠΟΛΛΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Δυσκολίες στον προσδιορισμό της τιμής της θέσης
Στον Πίνακα φαίνονται ορισμένες διαδοχικές χρονικές στιγμές και οι αντίστοιχες τιμές της θέσης ενός βαριδιού που πέφτει. Τις τιμές τις μετρήσαμε με τη βοήθεια της ταινίας του καταγραφέα χρόνου – θέσης. Έχουμε θέσει την αρχή του άξονα στην αρχική θέση του σώματος και ο θετικός ημιάξονας κατευθύνεται προς τα κάτω.
Μπορούμε με τη βοήθεια αυτού του Πίνακα να βρούμε πόση ήταν η τιμή της θέσης του βαριδιού οποιαδήποτε χρονική στιγμή, λόγου χάρη τη χρονική στιγμή 0,42s;

t(s) - x(mm)
0 - 0
0,028 - 10
0,056 - 26
0,084 - 49
0,112 - 77
0,140 - 112
0,168 - 154
0,196 - 203
0,224 - 253
0,252 - 314
0,280 - 382

Αν για τη μελέτη της κίνησης του βαριδιού περιορισθούμε σε έναν πίνακα τιμών χρόνου –θέσης έχουμε δύο μειονεκτήματα. Ας δούμε ποια είναι αυτά.
Αν και με τη βοήθεια του Πίνακα γνωρίζουμε τη θέση του βαριδιού σε ορισμένες χρονικές στιγμές, δε γνωρίζουμε την τιμή της θέσης του κάθε χρονική στιγμή, λόγου χάρη τη χρονική στιγμή 0,42s.
Επίσης ακόμα και τις χρονικές στιγμές που γνωρίζουμε τη θέση του βαριδιού, δεν είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το βαρίδι βρισκόταν σ΄ αυτήν ακριβώς τη θέση. Διότι οι κουκίδες δεν είναι πάντοτε πολύ καθαρές, η ταινία μπορεί να μην ήταν καλά τεντωμένη, ο ρυθμός του εκτυπωτή μπορεί να μην ήταν απόλυτα σταθερός κτλ. Λόγου χάρη αν και τη χρονική στιγμή 0,112s η τιμή της θέσης του βαριδιού μετρήσαμε ότι ήταν 77mm, η αντίστοιχη κουκίδα ίσως δεν ήταν πολύ καθαρή: ίσως εκτεινόταν από τη θέση 76mm έως τη θέση 78mm.
Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε έναν τρόπο για να ξεπεράσουμε αυτές τις δυσκολίες. Θα μπορούμε να βρούμε τη θέση του βαριδιού οποιαδήποτε χρονική στιγμή και μάλιστα με μεγαλύτερη ακρίβεια απ’ όσο μετρήσαμε τις τιμές της θέσης. Γι’ αυτό το σκοπό θα ζητήσουμε τη βοήθεια της γεωμετρίας και θα σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της θέσης ως προς το χρόνο.

Πώς απεικονίζουμε γεωμετρικά μια κίνηση;

Για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης της θέσης ως προς το χρόνο εργαζόμαστε ως εξής.
Σχεδιάζουμε δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες πραγματικών αριθμών που τέμνονται στο σημείο 0 και των δύο αξόνων (Εικόνα 1). Σε κάθε σημείο του οριζόντιου άξονα αντιστοιχούμε μια χρονική στιγμή, t. Σε κάθε σημείο του κατακόρυφου άξονα αντιστοιχούμε μια τιμή της θέσης, x.
Τον οριζόντιο άξονα τον ονομάζουμε άξονα του χρόνου. Ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας των θέσεων. Σε κάθε άξονα γράφουμε το σύμβολο του αντίστοιχου μεγέθους και της μονάδας που χρησιμοποιούμε.
Στο διάγραμμα που σχεδιάσαμε, για κάθε ζευγάρι t - x φέρνουμε τις αντίστοιχες καθέτους προς του άξονες και προσδιορίζουμε ένα σημείο μεταξύ των αξόνων.


Κατόπιν σχεδιάζουμε μια συνεχή γραμμή η οποία να περνά μεταξύ των σημείων που έχουμε προσδιορίσει (Εικόνα 2).

Πού βρισκόταν το βαριδάκι τη χρονική στιγμή 0,42s;
Όσο περισσότερες μετρήσεις χρησιμοποιούμε τόσο το σφάλμα μας είναι μικρότερο. Για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης χρησιμοποιήσαμε όλες τις μετρήσεις που έχουμε στη διάθεσή μας. Άρα κάθε σημείο της γραμμής που σχεδιάσαμε αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι χρονικής στιγμής – θέσης το οποίο είναι πολύ πιθανό να προσδιορίσουμε αν εκτελέσουμε την αντίστοιχη μέτρηση. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει λοιπόν ότι στη χρονική στιγμή 0,42s αντιστοιχεί τιμή της θέσης περίπου 800mm (Εικόνα 3).

Πού βρισκόταν το βαριδάκι τη χρονική στιγμή 0,28s;
Όσο περισσότερα πειραματικά δεδομένα χρησιμοποιούμε τόσο σφάλμα μας είναι μικρότερο. Για τον προσδιορισμό της θέσης του βαριδιού τη χρονική στιγμή 0,28s εκτελέσαμε μόνο μια μέτρηση, ενώ για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης χρησιμοποιήσαμε όλα τις διαθέσιμες μετρήσεις. Άρα ακόμα και για τις τιμές που μετρήσαμε λοιπόν θα πρέπει να εμπιστευτούμε περισσότερο τη γραφική παράσταση παρά τον πίνακα των τιμών. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει λοιπόν ότι στη χρονική στιγμή 0,28s αντιστοιχεί τιμή της θέσης 375mm.

Ποια καμπύλη;
Όταν σχεδιάσαμε τη γραμμή που περνά μεταξύ των σημείων, αντί για την καμπύλη που φαίνεται στην Εικόνα 3 θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε τη συνεχή καμπύλη που φαίνεται στην Εικόνα 4 (η διακεκομμένη καμπύλη είναι η καμπύλη της Εικόνας 3). Σε τούτη την περίπτωση προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή 0,42s η τιμή της θέσης το βαριδιού είναι μεγαλύτερη από 800mm.
Ποια από τις δύο τιμές θα δεχτούμε; Με τα δεδομένα που έχουμε στη διάθεσή μας οποιαδήποτε από τις δυο τιμές είναι αποδεκτή. Για την τελική επιλογή μας απαιτούνται περισσότερες μετρήσεις και μάλιστα πλησιέστερα στη χρονική στιγμή 0,42s. Λόγου χάρη αν τη χρονική στιγμή 0,38s μετρούσαμε ότι η αντίστοιχη τιμή της θέσης ήταν 660mm τότε από την καμπύλη της Εικόνας 3 βρίσκουμε με μικρότερο σφάλμα τα ζευγάρια χρόνου - θέσης.

ΘΕΣΗ - ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ

Στο ένα άκρο μιας ταινίας του καταγραφέα χρόνου - θέσης στερεώνουμε ένα βαριδάκι. Περνάμε την ταινία από τον καταγραφέα και τον ανοίγουμε. Το βαριδάκι πέφτει παρασέρνοντας την ταινία. Όταν η ταινία βγει από τον καταγραφέα τον σταματάμε.

Ξαναπερνάμε την ταινία μέσα από τον καταγραφέα μέχρι η πρώτη κουκίδα να συμπέσει με το κατώτερο σημείο του δίσκου του καταγραφέα. Όταν αποτυπώθηκε η πρώτη κουκίδα το βαριδάκι βρισκόταν σε τούτη τη θέση. Το βαριδάκι λοιπόν βρίσκεται στην αρχική θέση του. Σημειώνουμε αυτή τη θέση(00:03).

Μετατοπίζουμε την ταινία προς τα κάτω μέχρι η δεύτερη κουκίδα να συμπέσει με το κατώτερο σημείο του δίσκου. Το βαριδάκι πλέον βρίσκεται στην ίδια θέση που βρισκόταν όταν αποτυπώθηκε η δεύτερη κουκίδα. Σημειώνουμε και τούτη τη θέση του βαριδιού(00:13). Με παρόμοιο τρόπο σημειώνουμε τις θέσεις του βαριδιού κάθε φορά που αποτυπωνόταν μια κουκίδα(00:13-01:00).

Κατά μήκος των σημείων που έχουμε σημειώσει σχεδιάζουμε έναν άξονα των πραγματικών αριθμών ως εξής: Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο πάνω στη ευθεία ως αρχή του άξονα(01:29). Θεωρούμε ότι ο πάνω ημιάξονας είναι ο ημιάξονας των αρνητικών αριθμών και ο κάτω των θετικών(01:42).

Σε κάθε σημείο του άξονα αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό ως εξής (01:46): Μετράμε την απόσταση αυτού του σημείου από την αρχή του άξονα. Αυτή είναι η απόλυτη τιμή του αντίστοιχου πραγματικού αριθμού. Αν το σημείο βρίσκεται στο θετικό ημιάξονα, στη θέση του αντιστοιχούμε ένα θετικό αριθμό. Αν το σημείο βρίσκεται στον αρνητικό ημιάξονα, στη θέση του αντιστοιχούμε έναν αρνητικό αριθμό. Τον πραγματικό αριθμό που αντιστοιχούμε σε κάθε θέση , μαζί με τη μονάδα μέτρησης της απόστασης τα ονομάζουμε τιμή της θέσης ή απλώς θέση. Το άξονα των πραγματικών αριθμών που σχεδιάσαμε κατά μήκος των θέσεων του βαριδιού τον ονομάζουμε άξονα των θέσεων.
Την τιμή της θέσης τη συμβολίζουμε διεθνώς με x και η μονάδα μέτρησής της είναι το m.

Πόση είναι η τιμή της θέσης του βαριδιού, όταν το βαρίδι βρίσκεται στην αρχή του άξονα;

Όταν το βαρίδι βρίσκεται στην αρχή του άξονα, η απόστασή του από την αρχή του άξονα είναι 0. Επίσης η απόλυτη τιμή της θέσης είναι ίση με την απόσταση του σημείου που έχουμε επιλέξει πάνω στο βαγόνι από την αρχή του άξονα. Άρα όταν το βαρίδι βρίσκεται στην αρχή του άξονα, η τιμή της θέσης του είναι 0.

Γιατί όταν γνωρίζουμε μόνο την απόσταση του βαριδιού από την αρχή του άξονα, δεν γνωρίζουμε ακριβώς πού βρισκόταν το βαρίδι;

Όταν η θέση είναι θετική, το σημείο βρίσκεται προς την πλευρά του θετικού ημιάξονα. Όταν η θέση είναι αρνητική, το σημείο βρίσκεται προς τη πλευρά του αρνητικού ημιάξονα. Άρα αν γνωρίζουμε μόνο την απόσταση του βαριδιού και όχι το πρόσημο της θέσης, δε γνωρίζουμε αν το σημείο βρίσκεται προς την πλευρά του θετικού ημιάξονα ή του αρνητικού.

Μεταβολή της θέσης

Αν από μια τιμή της θέσης αφαιρέσουμε μια προηγούμενη τιμή θέσης, το αποτέλεσμα το ονομάζουμε μεταβολή της θέσης ή μετατόπιση.
Για τη θέση χρησιμοποιούμε το σύμβολο x. Για δύο διαδοχικές τιμές της θέσης λοιπόν θα χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα x1 και x2 αντίστοιχα και η διαφορά τους θα είναι: x2 – x1. Άρα x2 – x1 είναι η μεταβολή της θέσης από τη θέση x1 μέχρι τη θέση x2.
Έχουμε ήδη αναφέρει ότι για το συμβολισμό της μεταβολής ενός μεγέθους χρησιμοποιούμε το σύμβολο Δ. Για τη μεταβολή της θέσης λοιπόν γράφουμε:

Δx = x2 – x1

Αυτή η ισότητα δεν προκύπτει από κάποια άλλη ισότητα, αλλά εμείς ορίσαμε τα δύο μέλη να είναι ταυτόσημα μεταξύ τους.
Κάποια χρονική στιγμή η θέση του βαγονιού είναι +10cm. Κάποια επόμενη χρονική στιγμή είναι +26cm. Αν από τη θέση +26cm αφαιρέσουμε τη θέση +10cm, προκύπτει: (+26) – (+10) = +11cm. Σε τούτη την περίπτωση λέμε ότι η μεταβολή της θέσης ήταν +11cm.Υποθέστε ότι το βαριδάκι είχε κινηθεί αντίθετα, δηλαδή από τη θέση +26cm στη θέση +10cm. Η μεταβολή της θέσης του λοιπόν θα ήταν:

Δx = (+10) – (+26) = –11cm

Δηλαδή αν και σε τούτη την περίπτωση το βαριδάκι κινήθηκε επίσης στο θετικό ημιάξονα, η μεταβολή της θέσης του θα ήταν αρνητική.

Πότε η μεταβολή της θέσης είναι θετική, αρνητική ή μηδενική;

Αν η μεταβολή της θέσης είναι θετική (x2 – x1 > 0), τότε x2 > x1, δηλαδή η τιμή της θέσης του σώματος αυξάνεται. Οι τιμές του αλγεβρικού άξονα αυξάνονται από τον αρνητικό προς το θετικό ημιάξονα. Το σώμα λοιπόν κινείται από τον αρνητικό προς το θετικό ημιάξονα.
Αν η μεταβολή της θέσης είναι αρνητική (x2 – x1 < 0) τότε x1 >x2, δηλαδή η τιμή της θέσης του σώματος ελαττώνονται. Οι τιμές του αλγεβρικού άξονα ελαττώνονται από το θετικό προς τον αρνητικό ημιάξονα. Το σώμα λοιπόν κινείται από το θετικό προς τον αρνητικό ημιάξονα.
Αν η μεταβολή της θέσης είναι μηδενική (x2 – x1 = 0), τότε x2 = x1, δηλαδή η τιμή της θέσης παρέμεινε η ίδια. Άρα ούτε η απόσταση από την αρχή του άξονα μεταβλήθηκε ούτε το πρόσημο. Δηλαδή το σώμα έμεινε ακίνητο ή αφού κινήθηκε επέστρεψε στην αρχική θέση του.

Διάστημα

Ένα σώμα κινείται συνεχώς χωρίς αλλάζει κατεύθυνση και η μεταβολή της θέσης του είναι 4cm. Ένα άλλο σώμα κινείται επίσης χωρίς η κατεύθυνσή του να αλλάζει και η μεταβολή της θέσης του είναι – 4cm. Πόσο διάστημα διάνυσε κάθε σώμα; Αν και το πρώτο σώμα κινήθηκε αντίθετα από το δεύτερο, και τα δύο σώματα διάνυσαν 4cm. Όταν ένα σώμα κινείται χωρίς να αλλάζει η κατεύθυνση της κίνησής του, η απόλυτη τιμή της μεταβολής της θέσης μας δείχνει πόσο διάστημα διάνυσε το σώμα. Συγχρόνως το πρόσημό της μεταβολής της θέσης μας δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία κινήθηκε το σώμα.

Γιατί χρησιμοποιώντας μόνο την ταινία του καταγραφέα χρόνου – θέσης είναι δυνατό να προσδιορίσουμε την απόσταση του βαριδιού από τη αρχή του άξονα χωρίς να χρειαστεί να σημειώσουμε τις θέσεις του βαριδιού;

Περνάμε την ταινία στον καταγραφέα και μετακινούμε το βαριδάκι ώστε η θέση του βαριδιού να συμπέσει με την αρχή του άξονα. Πάνω στην ταινία σημειώνουμε μια νέα κουκίδα κάτω ακριβώς από το δίσκο του χρονομετρητή. Αυτή η κουκίδα αντιστοιχεί στη αρχή του άξονα.
Επειδή η ταινία ήταν τεντωμένη, όση είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής του άξονα και μιας θέσης του βαριδιού, τόση είναι η απόσταση μεταξύ της κουκίδας που αντιστοιχεί στην αρχή του άξονα και της κουκίδας που αντιστοιχεί στην θέση του βαριδιού. Μετρώντας λοιπόν την απόσταση κάθε κουκίδας από την κουκίδα που αντιστοιχεί στην αρχή του άξονα βρίσκουμε την απόσταση της θέσης του βαριδιού από την αρχή του άξονα.

Παρατήρηση

Στην καθημερινή ζωή λέμε: «Πήρε αρνητική θέση (ή θετική θέση) στο συγκεκριμένο θέμα», εννοώντας ότι αρνήθηκε να συμφωνήσει (ή συμφώνησε) με αυτό το θέμα. Στη Φυσική ωστόσο δεν χρησιμοποιούμε τον όρο θετική – αρνητική θέση με αυτό το νόημα. Σε κάθε θέση ενός σώματος αντιστοιχούμε απλώς έναν πραγματικό αριθμό. Από περίπτωση σε περίπτωση λοιπόν είναι δυνατό να χρησιμοποιούμε έναν όρο με διαφορετικό νόημα. Πρέπει ωστόσο να είμαστε ενήμεροι για τον νόημα με το οποίο κάθε φορά χρησιμοποιείται ο συγκεκριμένος όρος. Ακόμα μια φορά βλέπουμε ότι σε ένα κείμενο θα πρέπει κάθε φορά να διακρίνουμε αν κάποιες λέξεις χρησιμοποιούνται με το νόημα της Φυσικής ή με το νόημα που έχουν στην καθημερινή ζωή.

ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ ΣΤΗΝ ΗΛΙΚΙΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ

18:02, στο Σύνταγμα, στο Σταθμό του μετρό: Ανυπομονείτε να συναντήσετε στο σταθμό της Πανόρμου την καλύτερη φίλη σας. 18:13, βρίσκεστε στο σταθμό της Πανόρμου. Έντεκα λεπτά που σας φάνηκαν σαν αιώνας!
Επιστρέφετε. Δίπλα σας βρίσκετε η καλύτερη φίλη σας. Σε λίγο πρόκειται να την αποχωριστείτε. 20:02 στο Σταθμό της Πανόρμου, 20:13 στο Σταθμό του Συντάγματος. Έντεκα λεπτά που σας φάνηκαν σαν ένα!

Η κίνηση συνδέεται με το πότε (18:02) και το πού (σταθμός μετρό Συντάγματος) – το χρόνο και τη θέση. Ωστόσο ανάλογα με τη συναισθηματική κατάστασή μας ο χρόνος για μάς κυλά διαφορετικά. Στη Φυσική παρακάμπτουμε αυτό το συναίσθημα και καταγράφουμε τον χρόνο με τη βοήθεια του ρολογιού ή του χρονομέτρου.

Χρονική στιγμή
Στη Φυσική για να προσδιορίσουμε πότε συνέβη ένα γεγονός, τη στιγμή που συμβαίνει το γεγονός καταγράφουμε τη αντίστοιχη ένδειξη ενός ρολογιού ή χρονομέτρου. Λόγου χάρη στην Εικόνα το κορίτσι βρίσκεται στο σταθμό Ακρόπολη τη στιγμή που η ένδειξη του ρολογιού είναι: 7:48.
Επειδή στη Φυσική χρησιμοποιούμε πολύ συχνά την ένδειξη ενός ρολογιού ή ενός χρονομέτρου, της έχουμε δώσει ένα ιδιαίτερο νόημα.
Για να ονομάσουμε μια έννοια ή μέγεθος της Φυσικής συχνά χρησιμοποιούμε μια λέξεις της καθημερινής ζωής. Προσέχουμε απλώς το συνηθισμένο νόημα αυτών των λέξεων να συγγενεύει με το νόημα της έννοιας ή του μεγέθους της Φυσικής που θέλουμε να ονομάσουμε.
Η ένδειξη του ρολογιού ή του χρονομέτρου είναι ένα στιγμιαίο γεγονός που συνδέεται με το χρόνο. Την ονομάζουμε λοιπόν χρονική στιγμή.
Ωστόσο στην καθημερινή ζωή με τη λέξη στιγμή δεν εννοούμε απλώς την ένδειξη ενός ρολογιού ή χρονομέτρου. Λόγου χάρη όταν λέμε: «Θα ’μαι εκεί σε μια στιγμή» εννοούμε ότι θα πάμε σε σύντομο χρονικό διάστημα. Στη Φυσική χρονική στιγμή είναι απλώς μια ένδειξη του χρονομέτρου. Στο όρο λοιπόν χρονική στιγμή αποδίδουμε καινούριο νόημα. Σε ένα κείμενο θα πρέπει κάθε φορά να διακρίνουμε αν κάποιες λέξεις χρησιμοποιούνται με το νόημα της Φυσικής ή με το νόημα που έχουν στην καθημερινή ζωή.

Κάθε ένδειξη ενός ρολογιού ή ενός χρονομέτρου την ονομάζουμε χρονική στιγμή.

Το κορίτσι της Εικόνας λοιπόν βρίσκεται στο σταθμό Ακρόπολη του μετρό τη χρονική στιγμή 7:48.
Ακολουθώντας διεθνή σύμβαση χρησιμοποιούμε το σύμβολο t για το συμβολισμό μιας χρονικής στιγμής, δηλαδή μιας ένδειξης ρολογιού ή χρονομέτρου. Π.χ. για την ένδειξη του ρολογιού της Εικόνας γράφουμε: t = 7:48.
Όταν για πρώτη φορά βλέπουμε αυτό το συμβολισμό, συσχετίζουμε αόριστα το t με τη λέξη «χρόνος» και συχνά κάνουμε το λάθος να ερμηνεύουμε το σύμβολο t σαν να παριστάνει χρονική διάρκεια ή χρονικό διάστημα. Αποφύγετε αυτή την παγίδα. Θα χρησιμοποιούμε το t για να δηλώσουμε μόνο ενδείξεις ρολογιού ή χρονομέτρου.
Στο διεθνές σύστημα για μονάδα μέτρησης του χρόνου χρησιμοποιούμε το δευτερόλεπτο. Σύμβολό του είναι το s. Ένα δευτερόλεπτο είναι το 1/86400 του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών μεσουρανήσεων του Ήλιου.

Χρονικό διάστημα
Χρονικό διάστημα από μια χρονική στιγμή σε μια επόμενη ονομάζουμε την τιμή που προκύπτει όταν από τη δεύτερη χρονική στιγμή αφαιρέσουμε την πρώτη.
Λόγου χάρη το χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή 1,3s μέχρι τη χρονική στιγμή 2,7s είναι: 2,7 – 1,3 = 1,4s.
Για τη χρονική στιγμή χρησιμοποιούμε το σύμβολο t. Για δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές λοιπόν θα χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα t1 και t2 αντίστοιχα και η διαφορά τους θα είναι: t2 – t1. Δηλαδή t2 – t1 είναι το χρονικό διάστημα από τη χρονική στιγμή t1 μέχρι τη χρονική στιγμή t2.
Μεταβολή ενός μεγέθους ονομάζουμε την τιμή που προκύπτει όταν από μια τιμή του μεγέθους αφαιρέσουμε μια προηγούμενη. Άρα το χρονικό διάστημα είναι η μεταβολή μεταξύ δύο χρονικών στιγμών.
Για το συμβολισμό της μεταβολής ενός μεγέθους χρησιμοποιούμε το σύμβολο Δ. Το χρονικό διάστημα λοιπόν το παριστάνουμε με το σύμβολο Δt, δηλαδή: Δt = t2 – t1
Σημειώστε ότι στην περίπτωση των ενδείξεων ενός ρολογιού ή ενός χρονομέτρου η τελική τιμή t2 είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την t1. Το Δt λοιπόν είναι «εκ κατασκευής» θετικός αριθμός: Δt > 0.

Πώς μπορούμε να μετρήσουμε πολύ μικρά χρονικά διαστήματα;
Αν θέλουμε να μετρήσουμε με ακρίβεια το χρονικό διάστημα που ένας αθλητής τρέχει τα 100m, ένα ρολόι δε μας παρέχει την απαραίτητη ακρίβεια. Χρησιμοποιούμε λοιπόν ένα χρονόμετρο χειρός.
Αν θέλουμε να μετρήσουμε το χρόνο που διαρκεί η πτώση ενός αντικειμένου από ύψος 1m, , το χρονόμετρο χειρός δεν παρέχει την απαιτούμενη ακρίβεια διότι το χρονικό διάστημα πτώσης είναι πολύ μικρό. Χρησιμοποιούμε λοιπόν άλλα όργανα μέτρησης του χρόνου. Σε τούτη την περίπτωση κατάλληλο όργανο είναι ο ηλεκτρικός καταγραφέας χρόνου – θέσης.

Πώς με τον καταγραφέα χρόνου – θέσης μετράμε χρονικές στιγμές και χρονικά διαστήματα;

Καθώς ο δίσκος του κινητήρα περιστρέφεται, θέτουμε σε λειτουργία ένα χρονόμετρο και ταυτόχρονα αρχίζουμε να σέρνουμε την ταινία κάτω από το δίσκο. Μετά από λίγο σταματάμε το χρονόμετρο και ταυτόχρονα σταματάμε να τραβάμε την ταινία. Τέλος διακόπτουμε τη λειτουργία του κινητήρα.
Κάθε φορά που η ροδέλα του περιστρεφόμενου δίσκου κτυπάει την ταινία, μια κουκίδα αποτυπώνεται στην ταινία. Όταν η ταινία είναι ακίνητη κουκίδες, αποτυπώνονται στο ίδιο σημείο της ταινίας. Μέχρι να θέσουμε σε λειτουργία το χρονόμετρο λοιπόν και ταυτόχρονα αρχίσουμε να τραβάμε την ταινία, όλες οι κουκίδες αποτυπώθηκαν στο ίδιο σημείο. Άρα όλες αυτές οι κουκίδες αντιστοιχούν σε μηδενική ένδειξη του χρονομέτρου, δηλαδή στη χρονική στιγμή μηδέν.
Θεωρήστε ότι το χρονόμετρο σταμάτησε στην ένδειξη1,72s. Τραβήξαμε λοιπόν την ταινία για 1,72s. Θεωρήστε επίσης ότι μετρώντας το πλήθος των κουκίδων που αποτυπώθηκαν στην ταινία, διαπιστώνουμε ότι, μετά από τις κουκίδες που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή 0s, αποτυπώθηκαν επιπλέον 43 κουκίδες. Άρα από την αποτύπωση μιας κουκίδας μέχρι την αποτύπωση της επόμενης μεσολαβεί χρονικό διάστημα: 1,72:43=0,04s.
Δηλαδή η πρώτη κουκίδα, μετά από αυτές που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή μηδέν, αποτυπώθηκε όταν η ένδειξη του χρονομέτρου ήταν 0,04s. Η πρώτη κουκίδα λοιπόν (μετά από αυτές που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή μηδέν) αποτυπώθηκε τη χρονική στιγμή 0,04s.
Ομοίως π.χ. η 23η κουκίδα (μετά από αυτές που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή μηδέν) αποτυπώθηκε τη χρονική στιγμή 23 × 0,04s = 0,92s.
Άρα για να βρούμε πότε αποτυπώθηκε μια κουκίδα, μετράμε απλώς πόσες κουκίδες αποτυπώθηκαν από τις κουκίδες που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή 0 μέχρι τη συγκεκριμένη κουκίδα και πολλαπλασιάζουμε το πλήθος των κουκίδων με το 0,04s.
Αν τη στιγμή που αποτυπώθηκε η 10η κουκίδα ένα στυλό που αφήσαμε έφθασε στο δάπεδο, τότε το στυλό έφθασε στο δάπεδο τη χρονική στιγμή 10× 0,04s = 0,4s. Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιούμε τον ηλεκτρικό καταγραφέα χρόνου - θέσης για τον προσδιορισμό της χρονικής στιγμής που συνέβη ένα γεγονός.

Παρατηρήσεις
1. Ο ορισμός της χρονικής στιγμής είναι δική μας επινόηση. Δεν τον ανακαλύψαμε στη Φύση. Θα μπορούσαμε να τον έχουμε αποφύγει και αντί για «χρονική στιγμή» να λέμε απλώς «ένδειξη του χρονομέτρου». Έχει αποδειχθεί ωστόσο ότι είναι πολύ χρήσιμος ορισμός.
2. Στη Φυσική παρακάμπτουμε τη συναισθηματική αντίληψη του χρόνου και καταγράφουμε τον χρόνο με τη βοήθεια του ρολογιού ή του χρονομέτρου.
Παρακάμπτοντας τις συναισθηματικές καταστάσεις δε στερούμε τη Φυσική από τη συγκίνηση; Κάθε άλλο! Με τούτο τον τρόπο προκύπτει ένα άλλο είδος συγκίνησης, διαφορετικό από αυτό που προσφέρει λόγου χάρη η μουσική, η λογοτεχνία ή ζωγραφική που στοχεύουν άμεσα στο συναίσθημα. Ξεκινώντας από τον απλό ορισμό της χρονικής στιγμής, «χρονική στιγμή είναι η ένδειξη ενός ρολογιού ή ενός χρονομέτρου», οι Φυσικοί έχουν κατορθώσει μετρήσουν την ηλικία του Σύμπαντος και να φωτογραφίσουν το νεογέννητο Σύμπαν. Το Σύμπαν δημιουργήθηκε πριν από περίπου 14 δισεκατομμύρια χρόνια. Στην Εικόνα φαίνεται μια φωτογραφία ενός τμήματός του, μόλις ένα εκατομμύριο χρόνια μετά τη γέννησή του. Δεν είναι αυτό ένα άλλο είδος ποίησης; Νομίζω πως ναι, αν και η συγκίνηση όπως και η γοητεία δεν αναλύονται!