Σάββατο, 11 Οκτωβρίου 2008

ΑΠΟ ΤΑ ΛΙΓΑ ΣΤΑ ΠΟΛΛΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Δυσκολίες στον προσδιορισμό της τιμής της θέσης
Στον Πίνακα φαίνονται ορισμένες διαδοχικές χρονικές στιγμές και οι αντίστοιχες τιμές της θέσης ενός βαριδιού που πέφτει. Τις τιμές τις μετρήσαμε με τη βοήθεια της ταινίας του καταγραφέα χρόνου – θέσης. Έχουμε θέσει την αρχή του άξονα στην αρχική θέση του σώματος και ο θετικός ημιάξονας κατευθύνεται προς τα κάτω.
Μπορούμε με τη βοήθεια αυτού του Πίνακα να βρούμε πόση ήταν η τιμή της θέσης του βαριδιού οποιαδήποτε χρονική στιγμή, λόγου χάρη τη χρονική στιγμή 0,42s;

t(s) - x(mm)
0 - 0
0,028 - 10
0,056 - 26
0,084 - 49
0,112 - 77
0,140 - 112
0,168 - 154
0,196 - 203
0,224 - 253
0,252 - 314
0,280 - 382

Αν για τη μελέτη της κίνησης του βαριδιού περιορισθούμε σε έναν πίνακα τιμών χρόνου –θέσης έχουμε δύο μειονεκτήματα. Ας δούμε ποια είναι αυτά.
Αν και με τη βοήθεια του Πίνακα γνωρίζουμε τη θέση του βαριδιού σε ορισμένες χρονικές στιγμές, δε γνωρίζουμε την τιμή της θέσης του κάθε χρονική στιγμή, λόγου χάρη τη χρονική στιγμή 0,42s.
Επίσης ακόμα και τις χρονικές στιγμές που γνωρίζουμε τη θέση του βαριδιού, δεν είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το βαρίδι βρισκόταν σ΄ αυτήν ακριβώς τη θέση. Διότι οι κουκίδες δεν είναι πάντοτε πολύ καθαρές, η ταινία μπορεί να μην ήταν καλά τεντωμένη, ο ρυθμός του εκτυπωτή μπορεί να μην ήταν απόλυτα σταθερός κτλ. Λόγου χάρη αν και τη χρονική στιγμή 0,112s η τιμή της θέσης του βαριδιού μετρήσαμε ότι ήταν 77mm, η αντίστοιχη κουκίδα ίσως δεν ήταν πολύ καθαρή: ίσως εκτεινόταν από τη θέση 76mm έως τη θέση 78mm.
Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε έναν τρόπο για να ξεπεράσουμε αυτές τις δυσκολίες. Θα μπορούμε να βρούμε τη θέση του βαριδιού οποιαδήποτε χρονική στιγμή και μάλιστα με μεγαλύτερη ακρίβεια απ’ όσο μετρήσαμε τις τιμές της θέσης. Γι’ αυτό το σκοπό θα ζητήσουμε τη βοήθεια της γεωμετρίας και θα σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της θέσης ως προς το χρόνο.

Πώς απεικονίζουμε γεωμετρικά μια κίνηση;

Για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης της θέσης ως προς το χρόνο εργαζόμαστε ως εξής.
Σχεδιάζουμε δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες πραγματικών αριθμών που τέμνονται στο σημείο 0 και των δύο αξόνων (Εικόνα 1). Σε κάθε σημείο του οριζόντιου άξονα αντιστοιχούμε μια χρονική στιγμή, t. Σε κάθε σημείο του κατακόρυφου άξονα αντιστοιχούμε μια τιμή της θέσης, x.
Τον οριζόντιο άξονα τον ονομάζουμε άξονα του χρόνου. Ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας των θέσεων. Σε κάθε άξονα γράφουμε το σύμβολο του αντίστοιχου μεγέθους και της μονάδας που χρησιμοποιούμε.
Στο διάγραμμα που σχεδιάσαμε, για κάθε ζευγάρι t - x φέρνουμε τις αντίστοιχες καθέτους προς του άξονες και προσδιορίζουμε ένα σημείο μεταξύ των αξόνων.


Κατόπιν σχεδιάζουμε μια συνεχή γραμμή η οποία να περνά μεταξύ των σημείων που έχουμε προσδιορίσει (Εικόνα 2).



Πού βρισκόταν το βαριδάκι τη χρονική στιγμή 0,42s;
Όσο περισσότερες μετρήσεις χρησιμοποιούμε τόσο το σφάλμα μας είναι μικρότερο. Για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης χρησιμοποιήσαμε όλες τις μετρήσεις που έχουμε στη διάθεσή μας. Άρα κάθε σημείο της γραμμής που σχεδιάσαμε αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι χρονικής στιγμής – θέσης το οποίο είναι πολύ πιθανό να προσδιορίσουμε αν εκτελέσουμε την αντίστοιχη μέτρηση. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει λοιπόν ότι στη χρονική στιγμή 0,42s αντιστοιχεί τιμή της θέσης περίπου 800mm (Εικόνα 3).

Πού βρισκόταν το βαριδάκι τη χρονική στιγμή 0,28s;
Όσο περισσότερα πειραματικά δεδομένα χρησιμοποιούμε τόσο σφάλμα μας είναι μικρότερο. Για τον προσδιορισμό της θέσης του βαριδιού τη χρονική στιγμή 0,28s εκτελέσαμε μόνο μια μέτρηση, ενώ για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης χρησιμοποιήσαμε όλα τις διαθέσιμες μετρήσεις. Άρα ακόμα και για τις τιμές που μετρήσαμε λοιπόν θα πρέπει να εμπιστευτούμε περισσότερο τη γραφική παράσταση παρά τον πίνακα των τιμών. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει λοιπόν ότι στη χρονική στιγμή 0,28s αντιστοιχεί τιμή της θέσης 375mm.

Ποια καμπύλη;
Όταν σχεδιάσαμε τη γραμμή που περνά μεταξύ των σημείων, αντί για την καμπύλη που φαίνεται στην Εικόνα 3 θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε τη συνεχή καμπύλη που φαίνεται στην Εικόνα 4 (η διακεκομμένη καμπύλη είναι η καμπύλη της Εικόνας 3). Σε τούτη την περίπτωση προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή 0,42s η τιμή της θέσης το βαριδιού είναι μεγαλύτερη από 800mm.
Ποια από τις δύο τιμές θα δεχτούμε; Με τα δεδομένα που έχουμε στη διάθεσή μας οποιαδήποτε από τις δυο τιμές είναι αποδεκτή. Για την τελική επιλογή μας απαιτούνται περισσότερες μετρήσεις και μάλιστα πλησιέστερα στη χρονική στιγμή 0,42s. Λόγου χάρη αν τη χρονική στιγμή 0,38s μετρούσαμε ότι η αντίστοιχη τιμή της θέσης ήταν 660mm τότε από την καμπύλη της Εικόνας 3 βρίσκουμε με μικρότερο σφάλμα τα ζευγάρια χρόνου - θέσης.

Δεν υπάρχουν σχόλια: